Архив выпусков

Рассматривается задача о движении тяжелой частицы по невесомой нерастяжимой нити, закрепленной в двух точках на горизонтальном уровне с провисанием. Конфигурационное пространство такой системы - эллипсоид вращения. Получены в безразмерном виде уравнения траекторий тяжелой частицы на поверхности эллипсоида с горизонтальной осью вращения при заданном уровне энергии. При достаточно малой величине отношения максимально возможной на эллипсоиде потенциальной энергии частицы к её полной энергии дано решение уравнений в квадратурах. Определены условия устойчивости движения частицы по экватору эллипсоида и условия ее схода со связи.

Известно, что задача о движении тяжелой частицы на поверхности вращения с вертикальной осью решается в квадратурах. Общее решение задачи в случае эллиптического параболоида было найдено Чаплыгиным с использованием эллиптических [1]. В случае эллипсоида вращения использование эллиптических координат невозможно из-за их вырождения. Для решения задачи здесь применен метод геометрической редукции [2]. Асимптотическое представление решений и условия устойчивости получены методами Пуанкаре и Ляпунова [3, 4].