Архив выпусков

Найдено преобразование, с помощью которого нелинейная система уравнений, описывающая пространственные колебания тонкого слоя жидкости во вращающемся круговом параболическом бассейне, сведена к обычным уравнениям модели мелкой воды над ровным неподвижным дном. Это преобразование получено в результате анализа свойств симметрии уравнений движения вращающейся мелкой воды. Наличие у рассматриваемой модели нетривиальных симметрий позволило провести групповое размножение решений. С использованием известного стационарного вращательносимметричного решения получен класс периодических по времени решений, описывающий нелинейные колебания жидкости в круговом параболоиде с замкнутыми или квазизамкнутыми (эргодическими) траекториями движения жидких частиц.

Важным примером геофизического приложения результатов анализа нелинейных волновых движений жидкости во вращающихся бассейнах различной формы в рамках теории мелкой воды является моделирование крупномасштабных атмосферных и океанских течений в средних широтах [1, 2]. На основе нелинейной модели мелкой воды были получены общие результаты исследования волнового движения жидкости во вращающемся параболоиде, выведены уравнения для центра масс, момента инерции и полной энергии движущейся жидкости, а также найдены точные решения в рамках модели с линейным полем скоростей [3, 4]. Численно установлно существование периодических по времени решений уравнений модели вращающейся мелкой воды [5]. Изучались нелинейные осесимметричные колебания жидкости в параболоиде вращения и построены классы точных решений уравнений движения, в том числе периодические по времени [6-9], их особенностью является линейная зависимость радиальной компоненты скорости от радиуса. Групповой анализ [10] уравнений движения вращающейся мелкой воды был использован [11] при вычислении симметрий и теоретикогрупповой интерпретации известных результатов [3]. Для систем уравнений, описывающих движение тонкого слоя жидкости над ровным дном с учетом и без учета силы Кориолиса, установлен изоморфизм алгебр Ли допустимых операторов [12]. Свойства симметрии уравнений движения вращающейся мелкой воды [11, 12] позволили получить основной результат этой работы, заключающийся в преобразовании уравнений, описывающих пространственные движения тонкого слоя жидкости во вращающемся круговом параболоиде, к обычным уравнениям теории мелкой воды.