Архив выпусков

Рассматривается свободное пространственное движение неуравновешенного гиростата относительно центра масс. В канонических переменных Андуайе-Депри записан возмущенный гамильтониан для случая малой динамической асимметрии ротора. Проведен анализ структуры фазового пространства невозмущенной системы, выделено шесть видов возможных фазовых портретов и аналитически найдены уравнения фазовых траекторий. Для всех видов фазовых портретов получены явные аналитические зависимости переменных Андуайе-Депри от времени, соответствующие гетероклиническим орбитам. С использованием полученных аналитических решений для гетероклинических сепаратрисных орбит записана функция Мельникова возмущенной системы и численно показано наличие простых нулей, что свидетельствует о пересечении устойчивых и неустойчивых многообразий гиперболических точек и хаотизации движения. С помощью сечений Пуанкаре приведены иллюстрации режимов хаотического движения неуравновешенного гиростата.

В последнее время большое внимание уделяется вопросам сложной динамики и хаотизации режимов движения гиростата, связанных с переменностью состава (массы), а также с наличием внешних и внутренних возмущений различной природы [1-9]. Следует указать режимы движения, возникающие при изменении инерционно-массовых параметров во времени [1-3], действии гравитационных сил [4] и возмущений, связанных с внутренними факторами, такими как наличие внутри гиростата полостей с жидкостью [5, 6] и малой асимметрии тела-ротора [7-9]. В основном для аналитического обнаружения возникновения хаоса в известных работах используется формализм Мельникова-Виггинса, основанный на поиске простых нулей функции Мельникова, свидетельствующих о наличии пересечений устойчивых и неустойчивых многообразий гиперболических точек и расщеплении сепаратрис [10-13]. В ряде работ для изучения хаотического поведения используются методы Марсдена-Холмса [14], а также показывается принципиальная неинтегрируемость уравнений движения [15] на основе метода В.В. Козлова [16] и доказывается отсутствие дополнительного аналитического первого интеграла. Описание движения гиростатов, как правило, проводится на основе компонент кинетического момента, а также с применением канонических переменных Андуайе-Депри [17]. Важно отметить, что в цитируемых работах аналитические зависимости для невозмущенных сепаратрис в пространстве переменных Андуайе-Депри, необходимые для записи функции Мельникова, строятся на основе известных аналитических зависимостей для гомоклинических решений в трехмерном пространстве компонент кинетического момента свободного твердого тела и уравновешенного гиростата. Переход к углам и импульсам Андуайе-Депри обычно осуществляется с помощью соотношений кинематического вида без интегрирования канонических уравнений в переменных Андуайе-Депри.

В отличие от существующих работ в настоящей статье аналитические решения для гетероклинических орбит уравновешенного гиростата находятся путем непосредственного интегрирования канонических уравнений в переменных Андуайе-Депри с учетом буфуркационных изменений структуры фазового пространства.