Архив выпусков

Предлагается корректная модель сред с микроструктурой (по определению Миндлина), которая определяется наличием свободных деформаций и обобщает известные модели Миндлина, Коссера и Аэро-Кувшинского. Корректность формулировки модели определяется использованием "кинематического" вариационного принципа, основанного на последовательном формальном описании кинематики сред, формулировке кинематических связей для сред разной сложности и построении соответствующей потенциальной энергии деформации с использованием процедуры множителей Лагранжа. Устанавливается система определяющих соотношений и формулируется согласованная постановка краевой задачи. Показывается, что исследуемая модель среды не только отражает масштабные эффекты, аналогичные когезионным взаимодействиям, но также является основой для описания широкого спектра адгезионных взаимодействий. В связи с анализом физической стороны модели предлагается трактовка физических характеристик, ответственных за неклассические эффекты, дается описание спектра адгезионных механических параметров.

Исследуемая модель деформируемой среды по предложенной ранее [1] классификации сред с различными полями дефектов является моделью среды с сохраняющимися дислокациями. Прикладные варианты этой модели привели к объяснению ряда известных неклассических эффектов в механике материалов. Так, было показано, что они позволяют успешно моделировать эффект изменения механических свойств нанокомпозитов с изменением размера армирующих наночастиц при неизменном объемном содержании [2, 3], а также зависимость механических свойств тонких пленок от их толщины [4, 5]. Моделировались [6-9] масштабные эффекты в механике материалов, связанные с когезионными взаимодействиями, предложено описание несингулярных трещин с углом раствора равным нулю, что, по существу, дает формальное математическое обоснование гипотезы Г.И. Баренблатта о существовании когезионного поля. Учет масштабных эффектов позволил построить [2, 3, 7, 8] непротиворечивую теорию межфазного слоя, моделирующего локальные эффекты на границах контактирующих фаз. В рамках этой теории было получено математическое обоснование гипотезы эквивалентной матрицы, эквивалентных включений и т.д. Даны аналитические оценки геометрических и механических свойств межфазного слоя по классическим и неклассическим механическим характеристикам фаз.

В данной работе развивается общий вариант сред с сохраняющимися дислокациями (поток дислокаций через замкнутую поверхность любого объема равен нулю), который обобщает известные модели Миндлина [10, 11], Коссера [12], Тупина [13] и Аэро-Кувшинского [14]. Используется вариационная формулировка моделей на основе "кинематического" вариационного принципа, сформулированного ранее [15-17] и развитого в дальнейшем [6-9]. Показывается, что спектр внутренних взаимодействий полностью определяется системой кинематических связей, реализующихся в среде. Поэтому при формулировке модели на первом этапе исследуются кинематические соотношения модели среды, которые позволяют сформулировать кинематические связи в рамках принципа возможных перемещений. Отметим, например, что в классической теории упругости кинематика полностью определяется симметричными соотношениями Коши. В моментных моделях сред со стесненным кручением кинематика задается совокупностью соотношений Коши и выражений, определяющих производные от вектора поворотов (кривизны) через вектор перемещений [9, 11, 17] и пр. На втором этапе устанавливается список аргументов потенциальной энергии деформации (для обратимых процессов) и функционала Лагранжа [17]. Приводится общий вид определяющих уравнений, соответствующих общей форме потенциальной энергии, проводится их анализ, позволяющий ввести некоторые упрощения, связанные с учетом известных экспериментальных данных. В результате записывается вариационная формулировка краевой задачи. При этом формулируется весь спектр согласованных краевых условий.