Архив выпусков

В работе рассмотрена задача о максимизации значения первой собственной частоты для функционально-градиентного материала в зависимости от закона изменения модуля Юнга. При этом предполагается, что имеется ограничение на среднее интегральное значение модуля Юнга. Используя метод конечных элементов для численного решения двумерной осесимметричной задачи о свободных колебаниях цилиндра, показано влияние переменных свойств материала на значение первой собственной частоты. С помощью методов вариационного исчисления на основе общей постановки задачи для неоднородного упругого изотропного тела получено условие оптимальности. Отмечено, что левая часть этого условия имеет квадратичную форму. В общем случае задача поиска оптимального закона изменения модуля Юнга является существенно нелинейной и для ее решения необходимо использовать специальные численные методы. Используя полученное условие оптимальности, рассмотрены три частные задачи: об изгибных колебаниях круглой сплошной пластины, продольных колебаниях стержня и радиальных колебаниях сплошного тонкого диска с учетом соответствующих гипотез. Для всех задач получены оптимальные законы изменения модуля Юнга и функции перемещения в аналитическом виде. В частности, в задаче для диска предложено представление для радиальной компоненты поля перемещения, которое описывается линейным законом. Показано, что в этом случае соответствующие радиальная и тангенциальная компоненты тензора напряжений равны между собой. Из уравнения движения и граничного условия на внешней границе найдена искомая функция изменения модуля Юнга по радиальной координате в аналитическом виде. Получено аналитическое выражение для определения значения собственной частоты, соответствующее найденному решению. Проведена оценка точности этой формулы путем сравнения с численным решением, полученным с помощью метода конечных элементов в пакете FlexPDE. Проведено сравнение значений собственной частоты для диска из однородного и неоднородного материала.