Рассматриваются одночастотные колебания нелинейной автономной системы. Показано, что период колебаний зависит обычно только от одно го параметра как в случае обратимой механической системы, допускающей первые интегралы, так и в случае системы общего вида.
В линейной системе одночастотные колебания изохронны. В нелинейной системе период обычно меняется при переходе из одной точки к другой точке семейства колебаний, т.е. являет ся функцией одной или нескольких переменных [1]. Так, период колебаний(и вращений) математического маятника зависит от постоянной интеграла энергии. Однопараметрические семейства колебаний, зависящие от постоянной энергии, имеем в задаче Колмогорова-Ситникова и в задаче о колебаниях и вращениях спутника на круговой орбите. В ограниченной круговой за даче трех тел однопараметрические семейства периодических орбит зависят от постоянной интеграла Якоби.
Пример двухпараметрического семейства периодических орбит дает задача двух тел. Здесь параметрами являются постоянные площадей и энергии. Примечательно, что в этой задаче период движения по орбите определяется только большей полуосью эллипса. Более сложные примеры двухпараметрических симметричных семейств находим [2] в задаче о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае, когда центр тяжести находится в главной плоскости.
Примеры показывают, что период движений зависит обычно только от одного параметра. Это было установлено [3] для обратимой механической системы, наиболее распространенной в классической и небесной механике [4]. Приведенные выше примеры принадлежат именно к классу обратимых механических систем.
При выводе закона не учитывалось наличие первых интегралов. Наличие асимметричного первого интеграла [2] приводит к вырожденному случаю, не охватываемого законом ([3], теорема 1). Ниже дано обобщение указанного результата на этот случай.
Другой вопрос связан со справедливостью правила для нелинейной автономной системы в общем виде. Соответствующий результат также получен в работе.
Русский
English 
