Архив выпусков

Исследуется задача управления, цель которой - перемещение твердого тела на поверхность другого твердого тела таким образом, чтобы исключить соударения. Для этого необходимо, чтобы выполнялись фазовые ограничения, которые имеют смысл непересечения поверхности одного тела другим, причем должно быть выполнено важное условие: соприкосновение тел обеспечивается за счет ограниченных управлений и через конечное время. Удар твердых тел в момент контакта не происходит, поскольку соблюдается строгое правило: если точка одного тела находится на поверхности другого, то скорость точки направлена вдоль этой поверхности (или от нее). Для реализации правила используются специальные управления. Эти управления реализуют точные заданные значения координат и скоростей механической системы через конечное время.

Контакт твердых тел может быть обеспечен в асимптотике. Например, управляемая материальная точка может достигнуть поверхности твердого тела при неограниченном возрастании времени. В работе построено управление, которое обеспечивает контакт твердых тел за конечное время. Конечные процессы известны в механике. Скажем, в системе с силами сухого трения возможен конечный переходный процесс, т.е. система может остановиться через конечное время. Однако за счет подобных сил обычно не удается обеспечить остановку в заданном положении. Такая остановка возможна, но для этого требуются значительные силы, которые могут возникать, например, за счет ударов [1]. В отличие от этого в работе речь идет об ограниченных управлениях, которые обеспечивают точные заданные значения координат и скоростей системы за конечное время, т.е. обеспечивает сильную устойчивость системы [2, 3], причем в условиях фазовых ограничений, гарантирующих отсутствие ударов [4].

Рассматриваемая задача управления имеет отношение к понятию связи в механике. Собственно процесс наложения связи обычно не рассматривается, т.е. движения системы исследуются либо до, либо после наложения связи. Полученное решение открывает возможность "мягкого" наложения механической связи, т.е. в естественных условиях (в процессе движения системы, без ударов и за конечное время). Отсюда вытекает, в частности, что динамическое описание механической системы может быть одним и тем же, как до, так и после наложения связи. Более того, одновременно можно использовать дополнительное эквивалентное описание динамики исследуемой системы, в котором связь исключена.

Задача имеет отношение к вопросу о реализуемости связи [5]. Вопрос о допустимости того или иного типа связей (например, нелинейных по скоростям) понимается в механике как проблема реализуемости связей. Связь реализуема, т.е. не противоречит основным положениям механики, если для исследуемой системы удается построить эквивалентное описание без связи, но с дополнительными - реализующими силами. Ранее этот вопрос исследовался в достаточно отвлеченной форме. Он сводился, например, к вопросу о сходимости движений системы с реализующими силами к движениям исследуемой системы со связью [6]. Или вводилось достаточно сильное предположение о том, что любое движение подсистемы связей отвечает допустимому движению системы с реализующими силами [7]. Результаты предлагаемой работы открывают, таким образом, дополнительные возможности при исследовании вопроса о реализуемости связей, возникающих при взаимодействии твердых тел.

К числу близких прикладных задач относятся следующие: посадка самолета, стыковка космических аппаратов, причаливание судна, остановка транспортного средства строго в заданном месте, прицеливание, точное (безударное) подведение инструмента к обрабатываемой детали, подведение сварочного устройства манипулятора к сварочному шву и т.д.