Архив выпусков

Изучается задача минимизации среднеквадратичного отклонения однородной струны с закрепленными концами от положения равновесия. Управлением служит плотность внешних сил, действующих на струну. Предполагается, что заданы начальные условия и концы струны закреплены. Используется метод Фурье, который позволяет задачу управления уравнением в частных производных свести к задаче управления счетной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Для полученной задачи оптимального управления в пространстве l₂ доказано, что оптимальный синтез содержит особые траектории и траектории с учащающимися переключениями. Для исходной задачи оптимального управления колебаниями струны доказано, что существует единственное решение, при этом оптимальное управление имеет счетное число переключений на конечном интервале времени.

Ранее [1-3} рассматривалась задача управления колебаниями струны в классе обобщенных решений, представлен метод определения оптимального управления, при котором струна из произвольного заданного положения переходит в произвольное заданное финальное положение с минимальным значением интеграла граничной энергии. При этом управлением является либо смещение одного из концов струны [1], либо упругая сила, действующая на одном из концов [2], либо рассматривается комбинированное управление: упругая сила, приложенная к левому концу струны, и смещение правого конца [3]. Рассматривалась задача перевода струны из положения покоя в заданное фиксированное положение за заданное время, когда управлением служит смещение одного из концов струны [4]; показано, что последовательность конечномерных аппроксимаций задачи (основанная на Фурье-представлении) сходится в норме пространства L₂[0,T] к решению исходной задачи. С использованием модифицированного метода моментов исследовалась задача управления движением упругой системой (описываемой линейным гиперболическим уравнением) посредством сосредоточенного граничного воздействия силового типа [5]. Имеется подробный обзор результатов для задач управления упругими системами [6].

Ниже для задачи минимизации среднеквадратичного отклонения однородной струны с закрепленными концами от положения равновесия показано, что оптимальное управление является четтеринг-управлением, т.е. имеет счетное число переключений на конечном интервале времени.